Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 q - 1 & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & 2 q - 1 \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (1 (2 q - 1) - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Multiplica $2 q - 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (2 q - 1 - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 2.2.2

Resta $q$ de $2 q$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (1 (2 q - 1) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $2 q - 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $q$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Expande $(2 q - 1) (q - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 q (q - 1) - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Multiplica $q$ por $q$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1.1.1

Mueve $q$ .

$2 (q \cdot q) + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.2.1.1.2

Multiplica $q$ por $q$ .

$2 q^{2} + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 q^{2} - 2 q - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.2.1.3

Reescribe $- 1 q$ como $- q$ .

$2 q^{2} - 2 q - q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 q^{2} - 2 q - q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.2.2

Resta $q$ de $- 2 q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q) - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q + 2 q + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $q$ por $q$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.6.1.1

Mueve $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 (q \cdot q) + 2 q + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.6.1.2

Multiplica $q$ por $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.7

Multiplica $q - 1$ por $1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$ .

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Paso 5.2.1

Resta $2 q^{2}$ de $2 q^{2}$ .

$- 3 q + 1 + 0 + 2 q + q - 1$

Paso 5.2.2

Suma $- 3 q + 1$ y $0$ .

$- 3 q + 1 + 2 q + q - 1$

Paso 5.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$- 3 q + 2 q + q + 0$

Paso 5.2.4

Suma $- 3 q + 2 q + q$ y $0$ .

$- 3 q + 2 q + q$

Paso 5.3

Suma $- 3 q$ y $2 q$ .

$- q + q$

Paso 5.4

Suma $- q$ y $q$ .

$0$